Base numérique

Objectifs

  • Découvrir la notion de base numérique ;

  • Découvrir l'écriture de nombres dans une base numérique.

Mise en situation

On a l'habitude de représenter les nombres avec des chiffres de 0 à 9. C'est ce que l'on appelle le système décimal. Ce système de représentation n'est pas le seul possible, on pourrait également décider par exemple de n'utiliser que les chiffres de 0 à 5. Dans ce cas le nombre six s'écrirait 10. Les ordinateurs ne manipulent que des données binaires, c'est à dire qu'ils représentent tous les nombres avec uniquement deux chiffres : le 0 et le 1.

Si ces systèmes sont différents, ils partagent néanmoins le même système mathématique de codage : la base.

Ainsi notre système décimal est un système en base 10, et que le binaire est un système en base 2.

DéfinitionBase arithmétique

Une base arithmétique correspond au nombre de symboles, ou chiffres, utilisés pour représenter les nombres.

ExempleBase 10 (base décimale) : la base humaine

La base décimale est la base arithmétique que l'on utilise tous les jours.

Elle utilise 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ici, la base est dix (10).

MéthodeReprésentation d'un nombre dans une base arithmétique

Chaque nombre est une addition de puissances de sa base arithmétique. On décompose un nombre en comptant le nombre de chacune des puissances de sa base.

La puissance zéro est appelée unité.

MéthodeReprésenter un nombre dans la base 10

On liste les puissances de 10 dans la base 10 jusqu'à dépasser ce nombre:

Puissances de 10 en base 10

Puissance

6

5

4

3

2

1

0

Nombre

1 000 000

100 000

10 000

1000

100

10

1

  1. En partant de la plus grande puissance,

  2. on note entre 0 et 9 le nombre de fois que la puissance est contenue dans le nombre,

  3. et on retranche la quantité associée :

  4. on obtient à la fin la représentation dans la base voulue.

ExempleReprésentation de vingt-trois dans la base 10

Si on prend le nombre vingt-trois, celui-ci contient :

  • 2 fois la puissance première (10 = 10¹)

  • 3 fois l'unité (1 = 10⁰)

On a donc la représentation suivante de 23 dans la base 10 :

2 × 10¹ + 3 × 10⁰ → 23

ExempleReprésentation de trois-mille-six-cent-cinquante-et-un dans la base 10

Si on prend le nombre trois-mille-six-cent-cinquante-et-un, celui-ci contient :

  • 3 fois la puissance troisième (1000 = 10³)

  • 6 fois la puissance seconde (100 = 10²)

  • 5 fois la puissance première (10 = 10¹)

  • 1 fois l'unité (1 = 10⁰)

On a donc la représentation suivante de 3651 dans la base 10 :

3 × 10³ + 6 × 10² + 5 × 10¹ + 1 × 10⁰ → 3651

ComplémentLa base 60 une autre base utilisée dans l'histoire

La base 10 n'a pas été la seule base utilisée pour compter dans l'histoire. Le système sexagésimal (base 60) a aussi été utilisé par les Babyloniens et est encore utilisé aujourd'hui pour mesurer les heures et les angles. Une raison pratique de l'utilisation de cette base est que 60 est divisible par de nombreux nombres (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60).

À retenir

  • On peut représenter des nombres sous plusieurs bases.

  • La base que l'on utilise dans la vie de tous les jours est la base 10 mais on peut en utiliser d'autres.